《宋史》志 卷二十八

作者：聚优脱脱、阿鲁图等

　　◎律历八

　　○明天历

　　步晷漏术

　　二至限：一百八十一日六十二分。

　　一象度：九十一度三十一分。

　　消息法：一万六百八十九。

　　辰法：三千二百五十。

　　刻法：三百九十。

　　半辰法：一千六百二十五。

　　昏明刻分：九百七十五。

　　昏明：二刻一百九十五分。

　　冬至岳台晷景常数：一丈二尺八寸五分。

　　夏至岳台晷景常数：一尺五寸七分。

　　冬至后初限、夏至后末限：四十五日六十二分。

　　夏至后初限、冬至后末限：一百三十七日。

　　求岳台晷景入二至后日数：计入二至后来日数，以二至约余减之，仍加半日之分，即为入二至后来日午中积数及分。

　　求岳台晷景午中定数：置所求午中积数，如初限以下者为在初；已上者，覆减二至限，余为在末。其在冬至后初限、夏至后末限者，以入限日减一千九百三十七半，为泛差；仍以入限日分乘其日盈缩积，（盈缩积在日度术中。）五因百约之，用减泛差，为定差；乃以入限日分自相乘，以乘定差，满一百万为尺，不满为寸、为分及小分，以减冬至常晷，余为其日午中晷景定数。若所求入冬至后末限、夏至后初限者，乃三约入限日分，以减四百八十五少，余为泛差；仍以盈缩差减极数，余者若在春分后、秋分前者，直以四约之，以加泛差，为定差；若春分前、秋分后者，以去二分日数及分乘之，满六百而一，以减泛差，余为定差；乃以入限日分自相乘，以乘定差，满一百万为尺，不满为寸、为分及小分，以加夏至常晷，即为其日午中晷景定数。

　　求每日消息定数：置所求日中日度分，如在二至限以下者为在息；以上者去之，余为在消。又视入消息度加一象以下者为在初；以上者，覆减二至限，余为在末。其初、末度自相乘，以一万乘而再折之，满消息法除之，为常数。乃副之，用减一千九百五十，余以乘其副，满八千六百五十除之，所得以加常数，为所求消息定数。

　　求每日黄道去极度及赤道内外度：置其日消息定数，以四因之，满三百二十五除之为度，不满，退除为分，所得，在春分后加六十七度三十一分，在秋分后减一百一十五度三十一分，即为所求日黄道去极度及分。以黄道去极度与一象度相减，余为赤道内、外度。若去极度少，为日在赤道内；若去极度多，为日在赤道外。

　　求每日晨昏分及日出入分：以其日消息定数，春分后加六千八百二十五，秋分后减一万七百二十五，余为所求日晨分；用减元法，余为昏分。以昏明分加晨分，为日出分；减昏分，为日入分。

　　求每日距中距子度及每更差度：置其日晨分，以七百乘之，满七万四千七百四十二除为度，不满，退除为分，命曰距子度；用减半周天，余为距中度。（若倍距子度，五除之，即为每更差度及分。若依司辰星漏历，则倍距子度，减去待旦三十六度五十二分半，余以五约之，即每更差度。）

　　求每日夜半定漏：置其日晨分，以刻法除之为刻，不满为分，即所求日夜半定漏。

　　求每日昼夜刻及日出入辰刻：倍夜半定漏，加五刻，为夜刻。用减一百刻，余为昼刻。以昏明刻加夜半定漏，满辰法除之为辰数，不满，刻法除之为刻，又不满，为刻分。命辰数从子正，算外，即日出辰刻；以昼刻加之，命如前，即日入辰刻。（若以半辰刻加之，即命从辰初也。）

　　求更点辰刻：倍夜半定漏，二十五而一，为点差刻；五因之，为更差刻。以昏明刻加日入辰刻，即甲夜辰刻；以更点差刻累加之，满辰刻及分去之，各得更点所入辰刻及分。（若同司辰星漏历者，倍夜半定漏，减去待旦一十刻，余依术求之，即同内中更点。）

　　求昏晓及五更中星：置距中度，以其日昏后夜半赤道日度加而命之，即其日昏中星所格宿次，其昏中星便为初更中星；以每更差度加而命之，即乙夜所格中星；累加之，得逐更中星所格宿次。又倍距子度，加昏中星命之，即晓中星所格宿次。（若同司辰星漏历中星，则倍距子度，减去待旦十刻之度三十六度五十二分半，余约之为五更，即同内中更点中星。）

　　求九服距差日：各于所在立表候之，若地在岳台北，测冬至后与岳台冬至晷景同者，累冬至后至其日，为距差日；若地在岳台南，测夏至后与岳台晷景同者，累夏至后至其日，为距差日。

　　求九服晷景：若地在岳台北冬至前后者，以冬至前后日数减距差日，为余日；以余日减一千九百三十七半，为泛差；依前术求之，以加岳台冬至晷景常数，为其地其日中晷常数。若冬至前后日多于距差日，乃减去距差日，余依前术求之，即得其地其日中晷常数。若地在岳台南夏至前后者，以夏至前后日数减距差日，为余日；乃三约之，以减四百八十五少，为泛差；依前术求之，以减岳台夏至晷景常数，即其地其日中晷常数。如夏至前后日数多于距差日，乃减岳台夏至常晷，余即晷在表南也。若夏至前后日多于距差日，即减去距差日，余依前术求之，各得其地其日中晷常数。（若求定数，依立成以求午中晷景定数。）

　　求九服所在昼夜漏刻：冬、夏二至各于所在下水漏，以定其地二至夜刻，乃相减，余为冬、夏至差刻。置岳台其日消息定数，以其地二至差刻乘之，如岳台二至差刻二十而一，所得，为其地其日消息定数。乃倍消息定数，满刻法约之为刻，不满为分，乃加减其地二至夜刻，（秋分后、春分前，减冬至夜刻；春分后、秋分前，加夏至夜刻。）为其地其日夜刻；用减一百刻，余为昼刻。（其日出入辰刻及距中度五更中星，并依前术求之。）

　　步月离术

　　转度母：八千一百一十二万。

　　转终分：二百九十八亿八千二百二十四万二千二百五十一。

　　朔差：二十一亿四千二百八十八万七千。

　　朔差：二十六度。（余三千三百七十六万七千，约余四千一百六十二半。）

　　转法：一十亿八千四百四十七万三千。

　　会周：三百二十亿二千五百一十二万九千二百五十一。

　　转终：三百六十八度。（余三十八万二千二百五十一，约余三千七百八。）

　　转终：二十七日。（余六亿一百四十七万一千二百五十一，约余五千五百四十六。）

　　中度：一百八十四度。（余一千五百四万一千一百二十五半，约余一千八百五十四。）

　　象度：九十二度。（余七百五十二万五百六十二太，约分九百二十七。）

　　月平行：十三度。（余二千九百九十一万三千，约分三千六百八十七半。）

　　望差：一百九十七度。（余三千一百九十二万四千六百二十五半，约分三千九百三十四。）

　　弦差：九十八度。（余五千六百五十二万二千三百一十二太，约分六千九百六十七。）

　　日衰：一十八、小分九。

　　求月行入转度：以朔差乘所求积月，满转终分去之，不尽为转余。满转度母除为度，不满为余，（其余若以一万乘之，满转度母除之，即得约分；若以转法除转余，即为入转日及余。）即得所求月加时入转度及余。（若以弦度及余累加之，即得上弦、望、下弦及后朔加时入转度及分；其度若满转终度及余去之。）其入转度如在中度以下为月行在疾历；如在中度以上者，乃减去中度及余，为月入迟历。

　　求月行迟疾差度及定差：置所求月行入迟速度，如在象度以下为在初。以上，覆减中度，余为在末。（其度余用约分百为母。）置初、末度于上，列二百一度九分于下，以上减下，余以下乘上，为积数；满一千九百七十六除为度，不满，退除为分，命曰迟疾差度。（在疾为减，在迟为加。）以一万乘积数，满六千七百七十三半除之，为迟疾定差。（疾加、迟减，若用立成者，以其度下损益率乘度余，满转度母而一，所得，随其损益，即得迟疾及定差。其迟疾、初末损益分为二日者，各加其初、末以乘除。）

　　求朔弦望所直度下月行定分：置迟疾所入初、末度分，进一位，满七百三十九除之，用减一百二十七，余为衰差。乃以衰差疾初迟末减、迟初疾末加，皆加减平行度分，为其度所直月行定分。（其度以百命为分。）

　　求朔弦望定日：各以日躔盈缩、月行迟疾定差加减经朔、弦、望小余，满若不足，进退大余，命甲子，算外，各得定日日辰及余。若定朔干名与后朔干名同者月大，不同月小，月内无中气者为闰月。（凡注历，观定朔小余，秋分后四分之三已上者，进一日；若春分后，其定朔晨分差如春分之日者，三约之，以减四分之三；如定朔小余及此数已上者，进一日；朔或当交有食，初亏在日入已前者，其朔不进。弦、望定小余不满日出分者，退一日；其望或当交有食，初亏在日出已前，其定望小余虽满日出分者，亦退之。又月行九道迟疾，历有三大二小；日行盈缩累增损之，则有四大三小，理数然也。若循其常，则当察加时早晚，随其所近而进退之，使月之大小不过连三。旧说，正月朔有交，必须消息前后一两月，移食在晦、二之日。且日食当朔，月食当望，盖自然之理。夫日之食，盖天之垂诫，警悟时政，若道化得中，则变咎为祥。国家务以至公理天下，不可私移晦朔，宜顺天诫。故《春秋传》书日食，乃纠正其朔，不可专移食于晦、二。其正月朔有交，一从近典，不可移避。）

　　求定朔弦望加时日度：置朔、弦、望中日及约分，以日躔盈缩度及分盈加缩减之，又以元法退除迟疾定差，疾加迟减之，余为其朔、弦、望加时定日。以天正冬至加时黄道日度加而命之，即所求朔、弦、望加时定日所在宿次。（朔、望有交，则依后术。）

　　求月行九道：凡合朔所交，冬在阴历，夏在阳历，月行青道。（冬至、夏至后，青道半交在春分之宿，当黄道东。立夏、立冬后，青道半交在立春之宿，当黄道东南；至所冲之宿亦如之。）冬在阳历，夏在阴历，月行白道。（冬至、夏至后，白道半交在秋分之宿，当黄道西；立冬、立夏后，白道半交在立秋之宿，当黄道西北；至所冲之宿亦如之。）春在阳历，秋在阴历，月行朱道。（春分、秋分后，朱道交在夏至之宿，当黄道南；立春、立秋后，朱道半交在立夏之宿，当黄道西南：至所冲之宿亦如之。）春在阴历，秋在阳历，月行黑道。（春分、秋分后，黑道半交在冬至之宿，当黄道正北。立春、立秋后，黑道半交在立冬之宿，当黄道东北；至所冲之宿亦如之。）四序离为八节，至阴阳之所交，皆与黄道相会，故月行九道。各视月所入正交积度，（视正交九道宿度所入节候，即其道、其节所起。）满象度及分去之余，（入交积度及象度并在交会术中。）若在半象以下为在初限。以上，覆减象度及分，为在末限。用减一百一十一度三十七分，余以所入初、末限度及分乘之，退位，半之，满百为度，不满为分，所得为月行与黄道差数。距半交后、正交前，以差数减；距正交后、半交前，以差数加。（此加减出入六度，单与黄道相较之数，若较之赤道，随数迁变不常。）计去二至以来度数，乘黄道所差，九十而一，为月行与黄道差数。凡日以赤道内为阴，外为阳；月以黄道内为阴，外为阳。故月行宿度，入春分交后行阴历，秋分交后行阳历，皆为同名；若入春分交后行阳历，秋分交后行阴历，皆为异名。其在同名，以差数加者加之，减者减之；其在异名，以差数加者减之，减者加之。皆加减黄道宿积度，为九道宿积度；以前宿九道宿积度减其宿九道宿积度，余为其宿九道宿度及分。（其分就近约为太、半、少三数。）

　　求月行九道入交度：置其朔加时定日度，以其朔交初度及分减之，余为其朔加时月行入交度及余。（其余以一万乘之，以元法退除之，即为约余。）以天正冬至加时黄道日度加而命之，即正交月离所在黄道宿度。

　　求正交加时月离九道宿度：以正交度及分减一百一十一度三十七分，余以正交度及分乘之，退一等，半之，满百为度，不满为分，所得，命曰定差。以定差加黄道宿度，计去冬、夏至以来度数，乘定差，九十而一，所得，依同异名加减之，满若不足，进退其度，命如前，即正交加时月离九道宿度及分。

　　求定朔弦望加时月离所在宿度：各置其日加时日躔所在，变从九道，循次相加。凡合朔加时，月行潜在日下，与太阳同度，是为加时月离宿次。（先置朔、弦、望加时黄道宿度，以正交加时黄道宿度减之，余以加其正交加时九道宿度，命起正交宿次，算外，即朔、弦、望加时所当九道宿度。其合朔加时若非正近，则日在黄道、月在九道各入宿度，虽多少不同，考其去极，若应绳准。故云月行潜在日下，与太阳同度。）各以弦、望度及分加其所当九道宿度，满宿次去之，各得加时九道月离宿次。

　　求定朔夜半入转：以所求经朔小余减其朔加时入转日余，（其经朔小余，以二万七千八百七乘之，即母转法。）为其经朔夜半入转。若定朔大余有进退者，亦进退转日，无进退则因经为定。（其余以转法退收之，即为约分。）

　　求次月定朔夜半入转：因定朔夜半入转，大月加二日，小月加一日，余、分皆加四千四百五十四，满转终日及约分去之，即次月定朔夜半入转；累加一日，去命如前，各得逐日夜半入转日及分。

　　求定朔弦望夜半月度：各置加时小余，（若非朔、望有交者，有用定朔、弦、望小余。）以其日月行定分乘之，满元法而一为度，不满，退除为分，命曰加时度。以减其日加时月度，即各得所求夜半月度。

　　求晨昏月：以晨分乘其日月行定分，元法而一，为晨度；用减月行定分，余为昏度。各以晨昏度加夜半月度，即所求晨昏月所在宿度。

　　求朔弦望晨昏定程：各以其朔昏定月减上弦昏定月，余为朔后昏定程；以上弦昏定月减望昏定月，余为上弦后昏定程；以望晨定月减下弦晨定月，余为望后晨定程；以下弦晨定月减次朔晨定月，余为下弦后晨定程。

　　求转积度：计四七日月行定分，以日衰加减之，为逐日月行定程；乃自所入日计求定之，为其程转积度分。（其四七日月行定分者，初日益迟一千二百一十，七日渐疾一千三百四十一，十四日损疾一千四百六十一，二十一日渐迟一千三百二十八，乃观其迟疾之极差而损益之，以百为分母。）

　　求每日晨昏月：以转积度与晨昏定程相减，余以距后程日数除之，为日差。（定程多为加，定程少为减。）以加减每日月行定分，为每日转定度及分。以每日转定度及分加朔、弦、望晨昏月，满九道宿次去之，即为每日晨、昏月离所在宿度及分。（凡注历，朔后注昏，望后注晨。）已前月度，并依九道所推，以究算术之精微。若注历求其速要者，即依后术以推黄道月度。

　　求天正十一月定朔夜半平行月：以天正经朔小余乘平行度分，元法而一为度，不满，退除为分秒，所得，为经朔加时度。用减其朔中日，即经朔晨前夜半平行月积度。（若定朔有进退，以平行度分加减之。）即为天正十一月定朔之日晨前夜半平行月积度及分。

　　求次月定朔之日夜半平行月：置天正定朔之日夜半平行月，大月加三十五度八十分六十一秒，小月加二十二度四十三分七十三秒半，满周天度分即去之，即每月定朔之晨前夜半平行月积度及分秒。

　　求定弦望夜半平行月、计弦、望距定朔日数，以乘平行度及分秒，以加其定朔夜半平行月积度及分秒，即定弦、望之日夜半平行月积度及分秒。（亦可直求朔望，不复求度，从简易也。）

　　求天正定朔夜半入转度：置天正经朔小余，以平行月度及分乘之，满元法除为度，不满，退除为分秒，命为加时度；以减天正十一月经朔加时入转度及约分，余为天正十一月经朔夜半入转度及分。若定朔大余有进退者，亦进退平行度分，即为天正十一月定朔之日晨前夜半入转度及分秒。

　　求次月定朔及弦望夜半入转度：因天正十一月定朔夜半入转度分，大月加三十二度六十九分一十七秒，小月加十九度三十二分二十九秒半，即各得次月定朔夜半入转度及分。各以朔、弦、望相距日数乘平行度分以加之，满转终度及秒即去之，如在中度以下者为在疾；以上者去之，余为入迟历，即各得次朔、弦、望定日晨前夜半入转度及分。（若以平行月度及分收之，即为定朔、弦、望入转日。）

　　求定朔弦望夜半定月：以定朔、弦、望夜半入转度分乘其度损益衰，以一万约之为分，百约之为秒，损益其度下迟疾度，为迟疾定度。乃以迟加疾减夜半平行月，为朔、弦、望夜半定月积度。以冬至加时黄道日度加而命之，即定朔、弦、望夜半月离所在宿次。（若有求晨昏月，以其日晨昏分乘其日月行定分，元法而一，所得为晨昏度；以加其夜半定月，即得朔、弦、望晨昏月度。）

　　求朔弦望定程：各以朔、弦、望定月相减，余为定程。（若求晨昏定程，则用晨昏定月相减，朔后用昏，望后用晨。）

　　求朔弦望转积度分：计四七日月行定分，以日衰加减之，为逐日月行定分；乃自所入日计之，为其程转积度分。（其四七日月行定分者，初日益迟一千二百一十，七日渐疾一千三百四十一，十四日损疾一千四百六十一，二十一日渐迟一千三百二十八，乃视其迟疾之极差而损益之，分以百为母。）

　　求每日月离宿次：各以其朔、弦、望定程与转积度相减，余为程差。以距后程日数除之，为日差。（定程多为益差，定程少为损差。）以日差加减月行定分。为每日月行定分；以每日月行定分累加定朔、弦、望夜半月在宿次，命之，即每日晨前夜半月离宿次。（如晨昏宿次，即得每日晨昏月度。）

　　步交会术

　　交度母：六百二十四万。

　　周天分：二十二亿七千九百二十万四百四十七。

　　朔差：九百九十万一千一百五十九。

　　朔差：一度、余三百六十六万一千一百五十九。

　　望差：空度、余四百九十五万五百七十九半。

　　半周天：一百八十二度。（余三百九十二万二百二十三半，约分六千二百八十二。）

　　日食限：一千四百六十四。

　　月食限：一千三百三十八。

　　盈初限缩末限：六十度八十七分半。

　　缩初限盈末限：一百二十一度七十五分。

　　求交初度：置所求积月，以朔差乘之，满周天分去之，不尽，覆减周天分，满交度母除之为度，不满为余，即得所求月交初度及余；以半周天加之，满周天去之，余为交中度及余。（若以望差减之，即得其月望交初度及余；以朔差减之，即得次月交初度及余；以交度母退除，即得余分。若以天正黄道日度加而命之，即各得交初、中所在宿度及分。）

　　求日月食甚小余及加时辰刻：以其朔、望月行迟疾定差疾加迟减经朔望小余，（若不足减者，退大余一，加元法以减之；若加之满元法者，但积其数。）以一千三百三十七乘之，满其度所直月行定分除之，为月行差数；乃以日躔盈定差盈加缩减之，余为其朔、望食甚小余。（凡加减满若不足，进退其日，此朔望加时以究月行迟疾之数，若非有交会，直以经定小余为定。）置之，如前发敛加时术入之，即各得日、月食甚所在晨刻。（视食甚小余，如半法以下者，覆减半法，余为午前分；半法已上者，减去半法，余为午后分。）

　　求朔望加时日月度：以其朔、望加时小余与经朔望小余相减，余以元法退收之，以加减其朔、望中日及约分，（经朔望少，加；经朔望多，减。）为其朔、望加时中日。乃以所入日升降分乘所入日约分，以一万约之，所得，随以损益其日下盈缩积，为盈缩定度；以盈加缩减加时中日，为其朔、望加时定日；望则更加半周天，为加时定月；以天正冬至加时黄道日度加而命之，即得所求朔、望加时日月所在宿度及分。

　　求朔望日月加时去交度分：置朔望日月加时定度与交初、交中度相减，余为去交度分。（就近者相减之，其度以百通之为分。）加时度多为后，少为前，即得其朔望去交前、后分。（交初后、交中前，为月行外道阳历；交中后、交初前，为月行内道阴历。）

　　求日食四正食差定数：置其朔加时定日，如半周天以下者为在盈。以上者去之，余为在缩。视之，如在初限以下者为在初。以上者，覆减二至限，余为在末。置初、末限度及分，（盈初限、缩末限者倍之。）置于上位，列二百四十三度半于下，以上减下，余以下乘上，以一百六乘之，满三千九十三除之，为东西食差泛数。用减五百八，余为南北食差泛数。其求南北食差定数者，乃视午前、后分，如四分法之一以下者覆减之，余以乘泛数。若以上者即去之，余以乘泛数，皆满九千七百五十除之，为南北食差定数。盈初缩末限者，（食甚在卯酉以南，内减外加；食甚在卯酉以北，内加外减。）缩初盈末限者，（食甚在卯酉以南，内加外减；食甚在卯酉以北，内减外加。）其求东西食差定数者，乃视午前、后分，如四分法之一以下者以乘泛数；以上者，覆减半法，余乘泛数，皆满九千七百五十除之，为东西食差定数。盈初缩末限者，（食甚在子午以东，内减外加；食甚在子午以西，内加外减。）缩初盈末限者，（食甚在子午以东，内加外减；食甚在子午以西，内减外加。）即得其朔四正食差加减定数。

　　求日月食去交定分：视其朔四正食差，加减定数，同名相从，异名相消，余为食差加减总数；以加减去交分，余为日食去交定分。（其去交定分不足减、乃覆减食差总数、若阳历覆减入阴历，为入食限；若阴历覆减入阳历，为不入食限。凡加之满食限以上者，亦不入食限。）其望食者，以其望去交分便为其望月食去交定分。

　　求日月食分：日食者，视去交定分，如食限三之一以下者倍之，类同阳历食分。以上者，覆减食限，余为阴历食分。皆进一位，满九百七十六除为大分，不满，退除为小分，命十为限，即日食之大、小分。月食者，视去交定分，如食限三之一以下者，食既；以上者，覆减食限。余进一位，满八百九十二除之为大分，不满，退除为小分，命十为限，即月食之大、小分。（其食不满大分者，虽交而数浅，或不见食也。）

　　求日食泛用刻分：置阴、阳历食分于上，列一千九百五十二于下，以上减下，余以乘上，满二百七十一除之，为日食泛用刻、分。

　　求月食泛用刻分：置去交定分，自相乘，交初以四百五十九除，交中以五百四十除之，所得，交初以减三千九百，交中以减三千三百一十五，余为月食泛用刻、分。

　　求日月食定用刻分：置日月食泛用刻、分，以一千三百三十七乘之，以所直度下月行定分除之，所得为日月食定用刻、分。

　　求日月食亏初复满时刻：以定用刻分减食甚小余，为亏初小余；加食甚，为复满小余；各满辰法为辰数，不尽，满刻法除之为刻数，不满为分。命辰数从子正，算外，即得亏初、复末辰、刻及分。（若以半辰数加之，即命从时初也。）

　　求日月食初亏复满方位：其日食在阳历者，初食西南，甚于正南，复于东南；日在阴历者，初食西北，甚于正北，复于东北。其食过八分者，皆初食正西，复于正东。其月食者，月在阴历，初食东南，甚于正南，复于西南；月在阳历，初食东北，甚于正北，复于西北。其食八分已上者，皆初食正东，复于正西。（此皆审其食甚所向，据午正而论之，其食余方察其斜正，则初亏、复满乃可知矣。）

　　求月食更点定法：倍其望晨分，五而一，为更法；又五而一，为点法。（若依司辰星注历，同内中更点，则倍晨分，减去待旦十刻之分，余，五而一，为更法；又五而一，为点法。）

　　求月食入更点：各置初亏、食甚、复满小余，如在晨分以下者加晨分，如在昏分以上者减去昏分，余以更法除之为更数，不满，以点法除之为点数。其更数命初更，算外，即各得所入更、点。

　　求月食既内外刻分：置月食去交分，覆减食限三之一，（不及减者为食不既。）余列于上位；乃列三之二于下，以上减下，余以下乘上，以一百七十除之，所得，以定用刻分乘之，满泛用刻分除之，为月食既内刻分；用减定用刻分，余为既外刻、分。

　　求日月带食出入所见分数：视食甚小余在日出分以下者，为月见食甚、日不见食甚；以日出分减复满小余，若食甚小余在日出分已上者，为日见食甚、月不见食甚；以初亏小余减日出分，各为带食差；（若月食既者，以既内刻分减带食差，余乘所食分，既外刻分而一，不及减者，即带食既出入也。）以乘所食之分，满定用刻分而一，即各为日带食出、月带食入所见之分。（凡亏初小余多如日出分为在昼，复满小余多如日出分为在夜，不带食出入也。）若食甚小余在日入分以下者，为日见食甚、月不见食甚；以日入分减复满小余，若食甚小余在日入分已上者，为月见食甚、日不见食甚；以初亏小余减日入分，各为带食差；（若月食既者，以既内刻分减带食差，余乘所差分，既外刻分而一，不及减者，即带食既出入也。）以乘所食之分，满定用刻分而一，即各为日带食入、月带食出所见之分。（凡亏初小余多如日入分为在夜，复满小余少如日入分为在昼，并不带食出入也。）

　　步五星术

　　木星终率：一千五百五十五万六千五百四。

　　终日：三百九十八日。（余三万四千五百四，约分八千八百四十七。）

　　历差：六万一千七百五十。

　　见伏常度：一十四度。

　　火星终率：三千四十一万七千五百三十六。

　　终日：七百七十九日。（余三万六千五百三十六，约分九千三百六十八。）

　　历差：六万一千二百四十。

　　见伏常度：一十八度。

　　土星终率：一千四百七十四万五千四百四十六。

　　终日：三百七十八。（余三千四百四十六，约分八百八十三。）

　　历差：六万一千三百五十。

　　见伏常度：一十八度半。

　　金星终率：二千二百七十七万二千一百九十六。

　　终日：五百八十三日。（余三万五千一百九十六，约分九千二十四。）

　　见伏常度：一十一度少。

　　水星终率：四百五十一万九千一百八十四。（改九千一百九十四。）

　　终日：一百一十五日。（余三万四千一百八十四，约分八千七百六十五。）

　　见伏常度：一十八度。

　　求五星天正冬至后诸段中积中星：置气积分，各以其星终率去之，不尽，覆减终率，余满元法为日，不满，退除为分，即天正冬至后其星平合中积。重列之为中星，因命为前一段之初，以诸段变日、变度累加减之，即为诸段中星。（变日加减中积，变度加减中星。）

　　求木火土三星入历：以其星历差乘积年，满周天分去之，不尽，以度母除之为度，不满，退除为分，命曰差度；以减其星平合中星，即为平合入历度分；以其星其段历度加之，满周天度分即去之，各得其星其段入历度分。（金、水附日而行，更不求历差。其木、火、土三星前变为晨，后变为夕。金、水二星前变为夕，后变为晨。）

　　求木火土三星诸段盈缩定差：木、土二星，置其星其段入历度分，如半周天以下者为在盈。以上者，减去半周天，余为在缩。置盈缩度分，如在一象以下者为在初限。以上者，覆减半周天，余为在末限。置初、末限度及分于上，列半周天于下，以上减下，以下乘上，（木进一位，土九因之。）皆满百为分，分满百为度，命曰盈缩定差。其火星，置盈缩度分，如在初限以下者为在初。以上者，覆减半周天，余为在末。（以四十五度六十五分半为盈初、缩末限度，以一百三十六度九十六分半为缩初、盈末限度分。）置初、末限度于上，（盈初、缩末三因之。）列二百七十三度九十三分于下，以上减下，余以下乘上，以一十二乘之，满百为度，不满，百约为分，命曰盈缩定差。（若用立成法，以其度下损益率乘度下约分，满百者，以损益其度下盈缩差度为盈缩定差，若在留退段者，即在盈缩泛差。）

　　求木火土三星留退差：置后退、后留盈缩泛差，各列其星盈缩极度于下，（木极度，八度三十三分；火极度，二十二度五十一分；土极度，七度五十分。）以上减下，余以下乘上，（水、土三因之，火倍之。）皆满百为度，命曰留退差。（后退初半之，后留全用。）其留退差，在盈益减损加、在缩损减益加其段盈缩泛差，为后退、后留定差。（因为后迟初段定差，各须类会前留定差，观其盈缩，察其降差也。）

　　求五星诸段定积：各置其星其段中积，以其段盈缩定差盈加缩减之，即其星其段定积及分；以天正冬至大余及约分加之，满纪法去之，不尽，命甲子，算外，即得日辰。（其五星合见、伏，即为推算段定日；后求见、伏合定日，即历注其日。）

　　求五星诸段所在月日：各置诸段定积，以天正闰日及约分加之，满朔策及分去之，为月数；不满，为入月以来日数及分。其月数命从天正十一月，算外，即其星其段入其月经朔日数及分。（定朔有进退者，亦进退其日，以日辰为定。若以气策及约分去定积，命从冬至，算外，即得其段入气日及分。）

　　求五星诸段加时定星：各置其星其段中星，以其段盈缩定差盈加缩减之，即五星诸段定星。若以天正冬至加时黄道日度加而命之，即其段加时定星所在宿次。（五星皆以前留为前退初定星，后留为后顺初定星。）

　　求五星诸段初日晨前夜半定星：木、火、土三星，以其星其段盈缩定差与次度下盈缩定差相减，余为其度损益差；以乘其段初行率，一百约之，所得，以加减其段初行率，（在盈，益加损减；在缩，益减损加。）以一百乘之，为初行积分；又置一百分，亦依其数加减之，以除初行积分，为初日定行分。以乘其段初日约分，以一百约之，顺减退加其段定星，为其段初日晨前夜半定星；以天正冬至加时黄道日度加而命之，即得所求。（金、水二星，直以初行率便为初日定行分。）

　　求太阳盈缩度：各置其段定积，如二至限以下为在盈；以上者去之，余为在缩。又视入盈缩度，如一象以下者为在初；以上者，覆减二至限，余为在末。置初、末限度及分，如前日度术求之，即得所求。（若用立成者，直以其度下损益分乘度余，百约之，所得，损益其度下盈缩差，亦得所求。）

　　求诸段日度率：以二段日晨相距为日率，又以二段夜半定星相减，余为其段度率及分。

　　求诸段平行分：各置其段度率及分，以其段日率除之，为其段平行分。

　　求诸段泛差：各以其段平行分与后段平行分相减，余为泛差；并前段泛差，四因之，退一等，为其段总差。（五星前留前、后留后一段，皆以六因平行分，退一等，为其段总差，水星为半总差。其在退行者，木、火、土以十二乘其段平行分，退一等，为其段总差。金星退行者，以其段泛差为总差，后变则反用初、末。水星退行者，以其段平行分为总差，若在前后顺第一段者，乃半次段总差，为其段总差。）

　　求诸段初末日行分：各半其段总差，加减其段平行分，为其段初、末日行分。（前变加为初，减为末；后变减为初，加为末。其在退段者，前则减为初，加为末；后则加为初，减为末。若前后段行分多少不伦者，乃平注之；或总差不备大分者，亦平注之：皆类会前后初、末，不可失其衰杀。）

　　求诸段日差：减其段日率一，以除其段总差，为其段日差。（后行分少为损，后行分多为益。）

　　求每日晨前夜半星行宿次：置其段初日行分，以日差累损益之，为每日行分。以每日行分累加减其段初日晨前夜半宿次，命之，即每日星行宿次。

　　径求其日宿次：置所求日，减一，以乘日差，以加减初日行分，（后少，减之；后多，加之。）为所求日行分；乃加初日行分而半之，以所求日数乘之，为径求积度；以加减其段初日宿次，命之，即径求其日星宿次。

　　求五星定合定日：木、火、土三星，以其段初日行分减一百分，余以除其日太阳盈缩余为日，不满，退除为分，命曰距合差日及分。以差日及分减太阳盈缩分，余为距合差度。以差日、差度盈减缩加。金、水二星平合者，以百分减初日行分，余以除其日太阳盈缩余为日，不满，退除为分，命曰距合差日及分。以减太阳盈缩分，余为距合差度。以差日、差度盈加缩减。金、水星再合者，以初日行分加一百分，以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，命曰再合差日；以减太阳盈缩分，余为再合差度。以差日、差度盈加缩减。（差度则反其加减。）皆以加减定积，为再合定日。以天正冬至大余及约分加而命之，即得定合日辰。

　　求五星定见伏：木、火、土三星，各以其段初日行分减一百分，余以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，以盈减缩加。金、水二星夕见、晨伏者，以一百分减初日行分，余以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，以盈加缩减。其在晨见、夕伏者，以一百分加其段初日行分，以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，以盈减缩加。皆加减其段定积，为见、伏定日。以加冬至大余及约分，满纪法去之，命从甲子，算外，即得五星见、伏定日日辰。

　　琮又论历曰："古今之历，必有术过于前人，而可以为万世之法者，乃为胜也。若一行为《大衍历》，议及略例，校正历世，以求历法强弱，为历家体要，得中平之数。刘焯悟日行有盈缩之差。（旧历推日行平行一度，至此方悟日行有盈缩，冬至前后定日八十八日八十九分，夏至前后定日九十三日七十四分，冬至前后日行一度有余，夏至前后日行不及一度。）李淳风悟定朔之法，并气朔、闰余，皆同一术。（旧历定朔平注一大一小，至此以日行盈缩、月行迟疾加减朔余，余为定朔、望加时，以定大小，不过三数。自此后日食在朔，月食在望，更无晦、二之差。旧历皆须用章岁、章月之数，使闰余有差，淳风造《麟德历》，以气朔、闰余同归一母。）张子信悟月行有交道表里，五星有入气加减。（北齐学士张子信因葛荣乱，隐居海岛三十余年，专以圆仪揆测天道，始悟月行有交道表里，在表为外道阳历，在里为内道阴历。月行在内道，则日有食之，月行在外道则无食。若月外之人北户向日之地，则反观有食。又旧历五星率无盈缩，至是始悟五星皆有盈缩、加减之数。）宋何承天始悟测景以定气序。（景极长，冬至；景极短，夏至。始立八尺之表，连测十余年，即知旧《景初历》冬至常迟天三日。乃造《元嘉历》，冬至加时比旧退减三日。）晋姜岌始悟以月食所冲之宿，为日所在之度。（日所在不知宿度，至此以月食之宿所冲，为日所在宿度。）后汉刘洪作《乾象历》，始悟月行有迟疾数。（旧历，月平行十三度十九分度之七，至是始悟月行有迟疾之差，极迟则日行十二度强，极疾则日行十四度太，其迟疾极差五度有余。）宋祖冲之始悟岁差。（《书·尧典》曰："日短星昴，以正仲冬；宵中星虚，以殷仲秋。"至今三千余年，中星所差三十余度，则知每岁有渐差之数，造《大明历》率四十五年九月而退差一度。）唐徐升作《宣明历》，悟日食有气、刻差数。（旧历推日食皆平求食分，多不允合，至是推日食，以气刻差数增损之，测日食分数，稍近天验。）《明天历》悟日月会合为朔，所立日法，积年有自然之数，及立法推求晷景，知气节加时所在。（自《元嘉历》后所立日法，以四十九分之二十六为强率、以十七分之九为弱率，并强弱之数为日法、朔余，自后诸历效之。殊不知日月会合为朔，并朔余虚分为日法，盖自然之理。其气节加时，晋、汉以来约而要取，有差半日，今立法推求，得尽其数。）后之造历者，莫不遵用焉。其疏谬之甚者，即苗守信之《乾元历》、马重绩之《调元历》、郭绍之《五纪历》也。大概无出于此矣。然造历者，皆须会日月之行，以为晦朔之数，验《春秋》日食，以明强弱。其于气序，则取验于《传》之南至。其日行盈缩、月行迟疾、五星加减、二曜食差、日宿月离、中星晷景、立数立法，悉本之于前语。然后较验，上自夏仲康五年九月"辰弗集于房"，以至于今，其星辰气朔、日月交食等，使三千年间若应准绳。而有前有后、有亲有疏者，即为中平之数，乃可施于后世。其较验则依一行、孙思恭，取数多而不以少，得为亲密。较日月交食，若一分二刻以下为亲，二分四刻以下为近，三分五刻以上为远。以历注有食而天验无食，或天验有食而历注无食者为失。其较星度，则以差天二度以下为亲，三度以下为近，四度以上为远；其较晷景尺寸，以二分以下为亲，三分以下为近，四分以上为远。若较古而得数多，又近于今，兼立法、立数，得其理而通于本者为最也。"琮自谓善历，尝曰："世之知历者甚少，近世独孙思恭为妙。"而思恭又尝推刘羲叟为知历焉。